素数的一个性质

性质：p是素数当且仅当对于任意自然数n，只要$np<a<(n+1)p,a\in \mathbb{N}$,那么就有$(a,p)=1$.
证明：$\Rightarrow$ 若$(a,p)=b(b>1)$, 则易得$b=p$.所以a是p的倍数.但我们从np<a<(n+1)p上知道这是不可能的.
$\Leftarrow$ 假若p不是素数，那么p必定有不是1和本身的约数m.p=tm.则np=(nt)m,(n+1)p=(n+1)tm=(nt)m+tm.我们知道，np<(nt)m+m<(n+1)p,但是(ntm+m,p)>1,矛盾.$\Box$