素数的一个性质

性质：p是素数当且仅当对于任意自然数n，只要$np<a<(n+1)p,a\in \mathbb{N}$,那么就有$(a,p)=1$.
证明：$\Rightarrow$ 若$(a,p)=b(b>1)$, 则易得$b=p$.所以a是p的倍数.但我们从np<a<(n+1)p上知道这是不可能的.
$\Leftarrow$ 假若p不是素数，那么p必定有不是1和本身的约数m.p=tm.则np=(nt)m,(n+1)p=(n+1)tm=(nt)m+tm.我们知道，np<(nt)m+m<(n+1)p,但是(ntm+m,p)>1,矛盾.$\Box$

为什么多项式乘法满足交换律和结合律

设多项式$f(x)=a_nx_n+\cdots+a_1x+a_0$和$g(x)=b_nx_n+\cdots+b_1x+b_0(n\geq 1)$.$f(x)$和$g(x)$乘起来之后，得到$f(x)g(x)$.,规定$x_k(0\leq k\leq 2n)$的系数是$\displaystyle\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}$.我们发现，$\displaystyle\sum_{i=0}^{k}b_ia_{k-i}=\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-1}$,所以满足乘法交换律.
设$p(x)=c_nx_n+\cdots+c_1x+c_0$,我们发现，$[f(x)g(x)]p(x)$的$x_{s}(0\leq s\leq 3n)$的系数是$\displaystyle\sum_{r=0}^s(\sum_{i=0}^ra_ib_{r-i})c_{s-r}=\sum_{i+h+l=s}a_ib_hc_l$.所以满足结合律.