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叶卢庆的数学博客
叶卢庆的个人笔记,心得
2011年12月28日星期三
素数的一个性质
性质:p是素数当且仅当对于任意自然数n,只要
n
p
<
a
<
(
n
+
1
)
p
,
a
∈
N
,那么就有
(
a
,
p
)
=
1
.
证明:
⇒
若
(
a
,
p
)
=
b
(
b
>
1
)
, 则易得
b
=
p
.所以a是p的倍数.但我们从np<a<(n+1)p上知道这是不可能的.
⇐
假若p不是素数,那么p必定有不是1和本身的约数m.p=tm.则np=(nt)m,(n+1)p=(n+1)tm=(nt)m+tm.我们知道,np<(nt)m+m<(n+1)p,但是(ntm+m,p)>1,矛盾.
◻
2011年12月27日星期二
为什么多项式乘法满足交换律和结合律
设多项式
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
和
g
(
x
)
=
b
n
x
n
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
(
n
≥
1
)
.
f
(
x
)
和
g
(
x
)
乘起来之后,得到
f
(
x
)
g
(
x
)
.,规定
x
k
(
0
≤
k
≤
2
n
)
的系数是
k
∑
i
=
0
a
i
b
k
−
i
.我们发现,
k
∑
i
=
0
b
i
a
k
−
i
=
k
∑
i
=
0
a
i
b
k
−
1
,所以满足乘法交换律.
设
p
(
x
)
=
c
n
x
n
+
⋯
+
c
1
x
+
c
0
,我们发现,
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
p
(
x
)
的
x
s
(
0
≤
s
≤
3
n
)
的系数是
s
∑
r
=
0
(
r
∑
i
=
0
a
i
b
r
−
i
)
c
s
−
r
=
∑
i
+
h
+
l
=
s
a
i
b
h
c
l
.所以满足结合律.
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